314圆周率日:π究竟牛B在哪里?

天津中考2021-12-25 17:29:28admin2

今天是3月14日。而圆周率π就约等于3.14,因此这一天被设为了圆周率日。世界各地的数学家和数学爱好者们欢聚一堂,歌颂赞美这个数学世界中的奇迹。

大家或许会好奇,π究竟哪点吸引人了,能够让数学家们对它痴迷到如此地步?其实,π本身的存在就是一个奇迹:不管一个圆有多大,它的周长和直径之比总是一个固定的数,它就是3.…,是一个无限不循环小数。我们把这个数就叫做圆周率,用希腊字母π来表示。在几何问题中,圆周率扮演着非常重要的角色;然而更神奇的是,它也驰骋于几何以外的其它数学领域。

布丰投针实验

在地板上画一系列间距为2厘米的平行线,然后把一根长度为1厘米的针扔在地板上。那么,这根针与地板上的线条相交的概率是多少呢?1733年,法国博物学家布丰(Comte de Buffon)第一次提出了这个问题。1777年,布丰自己解决了这个问题——这个概率值是1/π。

这个问题可以用微积分直接求解,也能利用期望值的性质得到一个异常精妙的解答。即使我们现在已经能轻易求出它的答案,结论依然相当令人吃惊——在这个概率问题上,竟然也有π的踪影。有人甚至利用投针法,求出过π的近似值来。

斯特林近似公式

我们把从1开始一直连乘到n的结果称作“n的阶乘”,在数学中用n!来表示。也就是说:

1733年,数学家亚伯拉罕?棣莫弗(Abraham de Moivre)发现,当n很大的时候,有:

其中c是某个固定常数。不过棣莫弗本人并没有求出这个常数的准确值。几年后,数学家詹姆斯?斯特林(James Stirling)指出,这个常数c等于2π的平方根。也就是说:

这个公式就被称作斯特林近似公式。

伽马函数

阶乘运算本来是定义在正整数上的,但我们可以很自然地把它扩展到所有的正数上——只需要寻找一条经过所有形如(n, n!)的整格点的曲线就可以了。由此定义出来的函数就叫做伽马函数,用希腊字母Г来表示。好了,神奇的事情出现了。我们有这样一个结论:

π再次出现在了与几何毫无关系的场合中!

平方数的倒数和的极限

1的平方分之一,加上2的平方分之一,加上3的平方分之一,这样一直加下去,结果会怎样呢?这是一个非常吸引人的问题。

从上表中可以看到,越往后加,得数变化幅度就越小。可以预料,如果无穷地加下去,得数将会无限接近于某一个固定的数。这个数是多少呢?

1735年,大数学家欧拉(Euler)非常漂亮地解决了这一问题。神奇的是,这个问题的答案里竟然包含有π:

两个整数互质的概率

如果两个整数的最大公约数为1,我们就说这两个数是互质的。例如,9和14就是互质的,除了1以外它们没有其它的公共约数;9和15就不互质,因为它们有公共的约数3。可以证明这样一个令人吃惊的结论:任取两个整数,它们互质的概率是6/π2,恰好是上面一个问题的答案的倒数。在一个纯数论领域的问题中出现了圆周率,无疑给小小的希腊字母π更添加了几分神秘。

欧拉恒等式

这是整个数学领域中最伟大,最神奇的公式:

这个公式用加法、乘法、乘方这三个最基础的运算,把数学中最神奇的三个常数(圆周率π、自然底数e、虚数单位i)以及最根本的两个数(0和1)联系在了一起,没有任何杂质,没有任何冗余,漂亮到了令人敬畏的地步。这个等式也是由大数学家欧拉发现的,它就是传说中的欧拉恒等式(Euler’s identity)。《数学情报》杂志(The Mathematical Intelligencer)曾举办过一次读者投票活动,欧拉恒等式被评选为“史上最美的公式”。

然而,这些也都只是数学这个奇妙大世界的其中一角罢了。

(作者:matrix67)

它不满足任何整系数方程,这还不牛逼?所有圆不论大小,其周长和直径的比恒为Π。这还不牛逼?

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