微积分10道题

艺考动态2022-02-11 13:03:18admin2

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m{[∫e^(t^2)dt]^2}/>[∫te^(2t^2)dt](罗必塔法则)=lim[2e^(x^2)∫ e^(t^2)dt]/[xe^(2x^2)]

=lim[2∫ e^(t^2)dt]/[xe^(x^2)] (罗必塔法则)

=lim2e^(x^2)/[(1+2x^2)e^(x^2)]=2。
  

2。 z=y^x, z'=(y^x)lny, z'=xy^(x-1)。

z''=(y^x)(lny)^2,

z''=[y^(x-1)]xlny+y^(x-1)=z''

z''=x(x-1)y^(x-2)。

3。 z=x^3-4x^2+2xy-y^2, z'=3x^2-8x+2y, z'=2x-2y。
  

令 z'=0, z'=0, 解得驻点 (0,0),(2,2)。

z''=6x-8, z''=2, z''=-2。

对于驻点(0,0), A=-8, B=2, C=-2, B^2-AC0, (2,2)不是极值点。

4。 u=x+sin(y/2)+e^(yz),

du=dx+[(1/2)cos(y/2)+ze^(yz)]dy+[ye^(yz)]dz。
  

5。 y^(4)-2y'''+5y''=0, 特征方程 r^4-2r^3+5r^2=0,

解得特征根 r=0, 0, 1±2i, 则通解是

y=A+Bx+(e^x)[Ccos(2x)+Dsin(2x)], 其中A,B,C,D为积分常数。
  

6。 P(h,r), OP方程为 y=rx/h, 则

V=π∫(rx/h)^2dx=(π/3)hr^2。

7。 令 p=y', 则 (1+x^2)y''=2xy' 化为 dp/dx=2xp/(1+x^2),

即 dp/p=[2x/(1+x^2)]dx, 得 lnp=ln(1+x^2)+lnC,

即 p=C(1+x^2), 将 p(0)=y'(0)=3 代入,得 C=3,则

y'=p=3+3x^2, y=3x+x^3+D, 将 y(0)=1 代入,得 D=1,

则所求特解是 y=x^3+3x+1。
  

8。 dy/dx=1/(x+y), 则 dx/dy=x+y, 即 dx/dy-x=y,

是x对于y的一阶线性微分方程,得

x=e^(∫dy)[∫ye^(-∫dy)dy+C]

=(e^y)[∫ye^(-y)dy+C]

=(e^y)[-∫yde^(-y)+C]

=(e^y)[-ye^(-y)+∫e^(-y)dy+C]

=(e^y)[-ye^(-y)-e^(-y)+C]

=Ce^y-y-1。
   其中C为积分常数。

9。 联立解 y^2=2x 与 y=x-4 得交点(2,-2),(8,4)。 则所求面积

S=∫(4+y-y^2/2)dy=[4y+y^2/2-y^3/6]=18。

10。 (1) 当 P(x,y) 沿直线 y=kx 趋于点(0,0)时,有

lim(x^2)(y^2)/[(x^2)(y^2)+(x-y)^2]

=lim(k^2)(x^4)/[(k^2)(x^4)+(1-k^2)x^2]

=lim(k^2)(x^2)/[(k^2)(x^2)+(1-k^2)],

若k=1, 则极限为1;若k=0, 则极限为0。
   故极限不存在。

(2) 当 P(x,y) 沿直线 y=kx 趋于点(0,0)时,有

lim(2xy)/(x^2+y^2)

=lim(2kx^2)/[(x^2)+(kx)^2]=2k/(1+k^2),

极限取决于k值,故极限不存在。

用洛比达法则

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