本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。共150分。考试时间120分钟。
第Ⅰ卷 (选择题 共60分)
一、 选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1。
不等式(1+x)(1-|x|)＞0的解集是
A。{x|-1＜x＜1｝ B。{x|x＜1｝
C。{x|x＜-1或x＞1＝ D。{x|x＜1且x≠-1＝
2。
对一切实数x，不等式x2+a|x|+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是
A。（-∞，-2） B。［-2，+∞)
C。［-2，2］ D。
［0，+∞)
3。设O为矩形ABCD的边CD上一点，以直线CD为旋转轴，旋转这个矩形所得体积为V，其中以OA为母线的圆锥体积为 ，则以OB为母线的圆锥的体积等于
A。 B。
C。 D。
4。设偶函数f(x)=loga|x-b|在（-∞，0）上递增，则f(a+1)与f(b+2)的大小关系是
A。f(a+1)=f(b+2) B。
f(a+1)＞f(b+2)
C。f(a+1)＜f(b+2) D。不确定
5。复数z1、z2在复平面上对应点分别是A、B，O为坐标原点，若z1=2(cos60°+isin
60°)z2，|z2|=2，则△AOB的面积为
A。
4 B。2 C。 D。2
6。如果二项式（ ）n的展开式中第8项是含 的项，则自然数n的值为
A。27 B。
28 C。29 D。30
7。A、B、C、D、E，5个人站成一排，A与B不相邻且A不在两端的概率为
A。 B。 C。
D。以上全不对
8。把函数y=cosx- sinx的图象向左平移m个单位（m＞0）所得的图象关于y轴对称，则m的最小值是
A。 B。 C。
D。
9。已知抛物线C1：y=2x2与抛物线C2关于直线y=-x对称，则C2的准线方程是
A。x=- B。x= C。x= D。
x=-
10。6人一个小组，其甲为组长，乙为副组长，从6人中任选4人排成一排，若当正、副组长都入选时，组长必须排在副组长的左边（可以不相邻），则所有不同排法种数是
A。288 B。276 C。
252 D。72
11。如图△ABD≌△CBD，则△ABD为等腰三角形，∠BAD=∠BCD=90°，且面ABD⊥面BCD，则下列4个结论中，正确结论的序号是
①AC⊥BD ②△ACD是等边三角形 ③AB与面BCD成60°角 ④AB与CD成60°角
A。
①②③ B。①②④
C。①③④ D。②③④
12。台风中心从A地以每小时20千米的速度向东北方向移动，离台风中心30千米内的地区为危险区，城市B在A的正东40千米处，B城市处于危险区内的时间为
A。
0。5小时 B。1小时 C。1。5小时 D。2小时
第Ⅱ卷 (非选择题 共90分)
二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。把答案填在题中横线上）
13。
在△ABC中， cos(B+C)+cos( +A)的取值范围是 。
14。函数f(x)= (x≠-1)，若它的反函数是f-1(x)= ,则a= 。
15。Sn是等差数列{an}的前n项和，a5=2，an-4=30(n≥5,n∈N)，Sn=336,则n的值是 。
16。给出四个命题：①两条异面直线m、n，若m∥平面α，则n∥平面α ②若平面α∥平面β，直线m α，则m∥β ③平面α⊥平面β，α∩β=m，若直线m⊥直线n，n β，则n⊥α ④直线n 平面α，直线m 平面β，若n∥β，m∥α，则α∥β，其中正确的命题是 。
三、解答题（本大题共6小题，共74分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17。（本小题满分12分）
解关于x的方程：loga(x2-x-2)=loga(x- )+1(a＞0且a≠1)。
18。（本小题满分12分）
已知等差数列{an}中，a2=8，S10=185。
（Ⅰ）求数列{an}的通项公式an;
（Ⅱ）若从数列{an}中依次取出第2，4，8，…，2n，…项，按原来的顺序排成一个新数列{bn}，试求{bn}的前n项和An。
19。（本小题满分12分）
在Rt△ABC中，∠ACB=30°，∠B=90°，D为AC中点，E为BD的中点，AE的延长线交BC于F，将△ABD沿BD折起，二面角A—BD—C大小记为θ。
（Ⅰ）求证：面AEF⊥面BCD；
（Ⅱ）θ为何值时，AB⊥CD。
20。（本小题满分12分）
某公司取消福利分房和公费医疗，实行年薪制工资结构改革，该公司从2000年起每人的工资由三个项目并按下表规定实施
项目
金额（元/人·年）
性质与计算方法
基础工资
一万元
考虑物价因素，从2000年起每年递增10%（与工龄无关）
房屋补贴
400元
按照职工到公司的年限计算，每年递增400元
医疗费
1600元
固定不变
如果公司现有5名职工，计划从明年起每年新招5名职工
（Ⅰ）若今年（2000年）算第一年，试把第n年该公司付给职工工资总额y(万元)表示成年限n的函数；
（Ⅱ）试判断公司每年发给职工工资总额中，房屋补贴和医疗费的总和能否超过基础工资总额的20%？
21。
（本小题满分12分）
设双曲线C的中心在原点，以抛物线y2=2 x-4的顶点为双曲线的右焦点，抛物线的准线为双曲线的右准线。
（Ⅰ）试求双曲线C的方程；
（Ⅱ）设直线l:y=2x+1与双曲线C交于A、B两点，求|AB|；
（Ⅲ）对于直线y=kx+1,是否存在这样的实数k，使直线l与双曲线C的交点A、B关于直线y=ax(a为常数)对称，若存在，求出k值；若不存在，请说明理由。
22。（本小题满分14分）
已知函数f(x)=ax2+bx+c(a＞b＞c)的图象上有两点A（m，f(m1)）、B(m2，f(m2))，满足f(1)=0且a2+(f(m1)+f(m2))·a+f(m1)·f(m2)=0。
（Ⅰ）求证：b≥0；
（Ⅱ）求证：f(x)的图象被x轴所截得的线段长的取值范围是［2，3］；
（Ⅲ）问能否得出f(m1+3)、f(m2+3)中至少有一个为正数？请证明你的结论。
一、1。D 2。B 3。A 4。B 5。B 6。C 7。D 8。C9。C 10。A 11。B 12。B
二、13。［-2, ］ 14。 1 15。 21 16。②③
三、17。解：原方程可化为loga(x2-x-2)=loga(ax-2) 2分
①
②
4分
由②得x=a+1或x=0,当x=0时，原方程无意义，舍去。
8分
当x=a+1由①得 10分
∴a＞1时，原方程的解为x=a+1 12分
18。
解：(Ⅰ)设{an}首项为a1,公差为d,
则 ,解得
∴an=5+3(n-1),即an=3n+2 6分
（Ⅱ）设b1=a2,b2=a4,b3=a8,
则bn=a2n=3×2n+2
∴An=(3×2+2)+(3×22+2)+…+(3×2n+2)
=3×(2+22+…+2n)+2n
=3× +2n=6×2n-6+2n 12分
19。
（Ⅰ）证明：在Rt△ABC中，∠C=30°，D为AC的中点，则△ABD是等边三角形
又E是BD的中点，∵BD⊥AE，BD⊥EF，
折起后，AE∩EF=E，∴BD⊥面AEF
∵BD 面BCD，∴面AEF⊥面BCD 6分
（Ⅱ）解：过A作AP⊥面BCD于P，则P在FE的延长线上，设BP与CD相交于Q，令AB=1，则△ABD是边长为1的等边三角形，若AB⊥CD，则BQ⊥CD ,又AE=
∴折后有cosAEP=
由于∠AEF=θ就是二面角A—BD—C的平面角，
∴当θ＝π-arccos 时，AB⊥CD 12分
20。
解：（Ⅰ）第n年共有5n个职工，那么基础工资总额为5n(1+ )n（万元）
医疗费总额为5n×0。16万元，房屋补贴为
5×0。04+5×0。04×2+5×0。04×3+…+5×0。04×n=0。1×n(n+1)（万元） 2分
∴y=5n(1+ )n+0。
1×n(n+1)+0。8n
=n［5(1+ )n+0。1(n+1)+0。8］（万元） 6分
（Ⅱ）5(1+ )n×20%-［0。1(n+1)+0。8］
=(1+ )n- (n+9)
= ［10(1+ )n-(n+9)］
∵10(1+ )n=10(1+Cn1Cn1 +Cn2 +…)
＞10(1+ )＞10+n＞n+9
故房屋补贴和医疗费总和不会超过基础工资总额的20% 12分
21。
解：（Ⅰ）由抛物线y2=2 x-4,即y2=2 (x- ),可知抛物线顶点为（ ,0）,准线方程为x= 。
在双曲线C中，中心在原点，右焦点（ ，0），右准线x= ,
∴
∴双曲线c的方程3x2-y2=1 4分
（Ⅱ）由
∴|AB|=2 8分
（Ⅲ）假设存在实数k,使A、B关于直线y=ax对称，设A(x1,y1)、B(x2,y2),
②
③
则
由 ④
由②③，有a(x1+x2)=k(x1+x2)+2 ⑤
由④知：x1+x2= 代入⑤
整理得ak=3与①矛盾，故不存在实数k，使A、B关于直线y=ax对称。
12分
22。（Ⅰ）证明：因f(m1),f(m2)满足a2+［f(m1)+f(m2)］a+f(m1)f(m2)=0
即［a+f(m1)］［a+f(m2)］=0
∴f(m1)=-a或f(m2)=-a,
∴m1或m2是f(x)=-a的一个实根，
∴Δ≥0即b2≥4a(a+c)。
∵f(1)=0,∴a+b+c=0
且a＞b＞c,∴a＞0,c＜0,
∴3a-c＞0,∴b≥0 5分
(Ⅱ)证明：设f(x)=ax2+bx+c=0两根为x1,x2,则一个根为1，另一根为 ,
又∵a＞0,c＜0，
∴ ＜0,
∵a＞b＞c且b=-a-c≥0,
∴a＞-a-c＞c,∴-2＜ ≤-1
2≤|x1-x2|＜3 10分
（Ⅲ）解：设f(x)=a(x-x1)(x-x2)=a(x-1)(x- )
由已知f(m1)=-a或f(m2)=-a
不妨设f(m1)=-a则a(m1-1)(m1- )=-a＜0,
∴ ＜m1＜1
∴m1+3＞ +3＞1
∴f(m1+3)＞f(1)＞0
∴f(m1+3)＞0 12分
同理当f(m2)=-a时，有f(m2+3)＞0,
∴f(m2+3)或f(m1+3)中至少有一个为正数
。
